Валєєв К. Г., Джалладова І. А. Вища математика: Навч. посібник: У 2-х ч. — К.: КНЕУ, 2001. — Ч. 1.
[
]
04.06.2009, 20:44
Валєєв К. Г., Джалладова І. А. Вища математика: Навч. посібник: У 2-х ч. — К.: КНЕУ, 2001. — Ч. 1. — 546 с. ISBN 966-574-220-5 До першої частини посібника крім стислих відомостей з основ елементарної математики включено всі програмні питання з аналітичної геометрії, вищої алге-бри, диференціального числення та математичного аналізу. Матеріал подається на чітких прикладних засадах, що відповідає сучасним світовим тенденціям стосовно математичної освіти майбутніх економістів. Головна увага приділяється розкриттю змісту понять і їх взаємозв’язків, з’ясуванню сутності притаманних математиці індуктивних і дедуктивних методів міркувань, а також якомога повнішому висвітленню застосувань розглядуваних математичних моделей і алгоритмів, зокрема із залученням засобів комп’ютерного аналізу. Усі теоретичні твердження доводяться чітко й аргументовано, але без надмі-рної строгості, з опорою на наочність, інтуїцію та неформальну логіку, і водночас докладно тлумачаться з допомогою системно дібраних прикладів — від найпростіших до вельми складних. Прикладна спрямованість посібника підсилюється вміщеними в кожному ро-зділі добірками суто економічних задач, до яких пропонуються розгорнуті розв’язання, що ілюструють застосування відповідної теорії. До всіх розділів подаються численні задачі для самостійного розв’язування та тренувально-тестові вправи, завдяки чому посібник поєднує в собі функції повноцінного задачника з курсу вищої математики. Призначений для студентів економічних спеціальностей вузів. З огляду на повноту й системність викладу теорії та значний за обсягом і різноманітний за змістом задачний матеріал буде корисний студентам, аспірантам і викладачам, котрі працюють за будь-якою програмою пропонованого курсу. Може стати по-сібником для подальшої самоосвіти економістів-практиків. Вступ 3
Розділ 1. ОСНОВИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ 5 1.1. Множини 5 1.1.1. Поняття множини 5 1.1.2. Дії з множинами 6 1.2. Множини чисел 9 1.2.1. Поняття числа 9 1.2.2. Натуральні та цілі числа 11 1.2.3. Раціональні числа 13 1.2.4. Дійсні числа 14 1.2.5. Дії з дійсними числами 17 1.2.6. Прямокутна система координат 17 1.2.7. Комплексні числа 18 1.2.8. Дії з комплексними числами 19 1.2.9. Модуль та аргумент комплексного числа 20 1.2.10. Тригонометрична форма комплексного числа 22 1.2.11. Піднесення комплексного числа до степеня 23 1.2.12. Показникова форма комплексного числа 24 1.3. Метод математичної індукції та елементи комбінаторики 25 1.3.1. Математична індукція 25 1.3.2. Сполуки 26 1.3.3. Розміщення 27 1.3.4. Переставлення 28 1.3.5. Комбінації 28 1.4. Біном Ньютона 29 1.4.1. Добуток біномів, що відрізняються лише другими членами 29 1.4.2. Формула бінома Ньютона 30 1.5. Нерівності, абсолютна величина 31 1.5.1. Нерівності. Системи нерівностей 31 1.5.2. Визначні нерівності 33 1.5.3. Абсолютна величина 34 1.5.4. Інтервали 35 1.6. Відсотки 35 1.6.1. Поняття відсотка 35 1.6.2. Три основні задачі на відсотки 36 1.6.3. Формула простого відсотка 36 1.6.4. Формула складного відсотка 37 1.6.5. Економічна задача. Дисконтування 38 1.6.6. Погашення довгострокових кредитів 39 1.7. Функції 40 1.7.1. Поняття функції 40 1.7.2. Властивості функцій 42 1.7.3. Функція, обернена до даної 44 1.7.4. Поняття складної (складеної) функції 45 1.7.5. Основні елементарні функції 46 1.7.6. Елементарні функції 53 1.7.7. Деякі неелементарні функції 56 1.7.8. Застосування функцій в економіці 57 Вправи для самостійного розв’язування 58
Розділ 2. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА 61 2.1. Лінійний простір 61 2.1.1. Векторний простір 61 2.1.2. Норма вектора 66 2.1.3. Лінійна незалежність векторів 69 2.1.4. Лінійні комбінації векторів. Ранг системи векторів 73 2.1.5. Обчислення рангу системи векторів 79 2.2. Матриці 82 2.2.1. Основні означення 82 2.2.2. Лінійні перетворення і матриці 85 2.2.3. Існування розв’язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь 93 2.2.4. Дії з матрицями 97 2.2.5. Подібні матриці 102 2.2.6. Симетричні та несиметричні матриці 104 2.2.7. Ортогональні матриці 105 2.2.8. Проектори 107 2.2.9. Матриці переставлень 109 2.2.10. Блочні матриці 111 2.2.11. Знаходження оберненої матриці методом Жордана—Гаусса 113 2.3. Визначники 114 2.3.1. Парні та непарні переставлення 114 2.3.2. Означення визначника 115 2.3.3. Властивості визначників 118 2.3.4. Обчислення визначників 122 2.3.5. Мінори. Алгебраїчні доповнення 124 2.3.6. Теорема Лапласа 126 2.3.7. Формули Крамера 129 2.3.8. Розв’язування однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь 131 2.3.9. Обернена матриця 135 2.4. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь 137 2.4.1. Основні означення та результати 137 2.4.2. Метод Гаусса 141 2.4.3. Метод Жордана—Гаусса 148 2.5. Проблема власних чисел 153 2.5.1. Власні вектори та власні числа матриці 153 2.5.2. Многочлени від матриці 159 2.5.3. Побудова характеристичного многочлена матриці 164 2.5.4. Метод послідовних наближень 167 2.6. Квадратичні форми 171 2.6.1. Означення квадратичної форми 171 2.6.2. Діагоналізація симетричних матриць 172 2.6.3. Умови додатної визначеності квадратичних форм 175 2.6.4. Умови існування екстремуму квадратичної форми 178 2.6.5. Квадратична форма за додаткових умов 179 2.7. Невід’ємні матриці 181 2.7.1. Нерозкладні матриці 181 2.7.2. Властивості невід’ємних матриць 182 2.7.3. Стохастичні матриці 183 2.8. Матриці з домінантною головною діагоналлю 187 2.8.1. Матриці з комплексними елементами 187 2.8.2. Матриці з домінантною головною діагоналлю 189 2.9. Економічні приклади і задачі 192 Вправи для самостійного розв’язування 198
Розділ 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ 218 3.1. Метод координат 218 3.1.1. Декартові координати на площині 218 3.1.2. Відстань між точками. Коло. 219 3.1.3. Точки перетину кривих 221 3.1.4. Перетворення координат 222 3.1.5. Декартові координати у просторі 224 3.2. Вектори 227 3.2.1. Додавання та віднімання векторів 227 3.2.2. Множення вектора на число 230 3.2.3. Поділ відрізка в заданому відношенні 232 3.2.4. Скалярний добуток векторів 233 3.2.5. Векторний добуток векторів 236 3.2.6. Мішаний добуток векторів 237 3.3. Пряма на площині 239 3.3.1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом 239 3.3.2. Кут між прямими 242 3.3.3. Загальне рівняння прямої 244 3.3.4. Взаємне розташування двох прямих 246 3.3.5. Відстань від точки до прямої 248 3.4. Конічні перерізи 251 3.4.1. Полярні координати 251 3.4.2. Конічні перерізи 254 3.4.3. Парабола 257 3.4.4. Еліпс 259 3.4.5. Гіпербола 263 3.4.6. Криві другого порядку 268 3.5. Площина та пряма у просторі 269 3.5.1. Загальне рівняння площини 269 3.5.2. Дослідження загального рівняння площини 271 3.5.3. Рівняння площини, що проходить через три точки 272 3.5.4. Відстань від точки до площини 273 3.5.5. Взаємне розміщення двох площин 275 3.5.6. Канонічне рівняння прямої 276 3.5.7. Рівняння прямої у просторі 278 3.5.8. Пряма і площина у просторі 279 3.5.9. Відстань від точки до прямої 281 3.5.10. Взаємне розміщення двох прямих 284 3.5.11. Відстань між двома прямими 284 3.6. Поверхні другого порядку 286 3.6.1. Перетворення загального рівняння поверхні 286 3.6.2. Поверхні у випадку І 288 3.6.3. Поверхні у випадку ІІ 289 3.6.4. Поверхні у випадку ІІІ 291 3.7. Економічні задачі 292 Вправи для самостійного розв’язування 296
Розділ 4. ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ 314 4.1. Послідовності 314 4.1.1. Основні означення 314 4.1.2. Обмежені та монотонні послідовності 315 4.1.3. Збіжні та розбіжні послідовності 317 4.1.4. Властивості збіжних послідовностей 318 4.1.5. Число е 321 4.1.6. Наближене обчислення числа е 323 4.1.7. Економічна інтерпретація числа е 324 4.1.8. Лема про вкладені відрізки 325 4.1.9. Частинні послідовності 325 4.1.10. Теорема Бореля 327 4.1.11. Принцип збіжності Больцано—Коші 329 4.1.12. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності 330 4.1.13. Теореми про границі 332 4.1.14. Границя відношення двох многочленів 335 4.1.15. Добування квадратного кореня 335 4.2. Границя функції 337 4.2.1. Поняття границі функції 337 4.2.2. Ліва та права границі функції 339 4.2.3. Теореми про границі функції 340 4.2.4. Перша визначна границя 341 4.2.5. Друга визначна границя 343 4.2.6. Формула Ейлера 345 4.3. Неперервність функції 346 4.3.1. Основні поняття 346 4.3.2. Властивості неперервних функцій 349 4.3.3. Розриви функції 350 4.3.4. Методика дослідження функції y = f (x) на неперервність 351 4.3.5. Наслідки з формул для визначних границь 352 4.3.6. Порівняння нескінченно малих величин 353 4.3.7. Шкала еквівалентних нескінченно малих величин 356 4.3.8. Властивості функцій неперервних на відрізку 357 4.3.9. Рівномірна неперервність 360 Вправи для самостійного розв’язування 362
Розділ 5. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ 373 5.1. Похідна 373 5.1.1. Поняття похідної 373 5.1.2. Похідні основних елементарних функцій 375 5.1.3. Правила диференціювання 378 5.1.4. Похідна оберненої функції 381 5.1.5. Похідна складної функції 383 5.1.6. Логарифмічна похідна 385 5.1.7. Похідна неявної функції 386 5.1.8. Похідна функції, заданої параметрично 386 5.1.9. Логарифмічне диференціювання 388 5.1.10. Похідна показниково-степеневої функції 388 5.1.11. Похідні вищих порядків 390 5.1.12. Правила знаходження похідних п-го порядку 390 5.1.13. Неперервність та диференційовність функції. Похідні зліва та справа 392 5.1.14. Механічний та геометричний зміст похідної 393 5.1.15. Рівняння дотичної та нормалі до кривої 395 5.1.16. Економічний зміст похідної. Еластичність 397 5.2. Диференціал 401 5.2.1. Поняття диференціала 401 5.2.2. Правила обчислення диференціала 403 5.2.3. Інваріантність форми першого диференціала функції 404 5.2.4. Таблиця диференціалів 405 5.2.5. Диференціали вищих порядків 406 5.3. Основні теореми про диференційовні функції («Французь-кі» теореми) 408 5.3.1. Теорема Ферма 408 5.3.2. Теорема Ролля 409 5.3.3. Теорема Лагранжа 411 5.3.4. Теорема Коші 412 5.3.5. Узагальнення теореми про скінченний приріст. Формула Тейлора 415 5.3.6. Застосування формули Тейлора в економічних задачах 417 5.3.7. Розклад основних елементарних функцій за формулою Тейлора 419 5.3.8. Розклад за формулою Тейлора деяких часто застосовуваних функцій 422 5.3.9. Обчислення радикалів 423 5.3.10. Інтерполювання функції 425 5.4. Застосування диференціального числення до обчислення границь 426 5.4.1. Правило Лопіталя 426 5.4.2. Застосування правила Лопіталя для розкриття невизначе- ностей виду [0 • ], [ – ], [1], [], [0]. 431 5.5. Опуклі функції 434 5.5.1. Опуклі множини на площині 434 5.5.2. Поняття про опуклі та вгнуті функції 436 5.5.3. Ознаки опуклості та вгнутості функцій. Строго опуклі і строго вгнуті функції 437 5.5.4. Властивості опуклих та вгнутих функцій 440 5.5.5. Критерії опуклості та вгнутості диференційовних функцій 441 5.5.6. Точки перегину 444 5.5.7. Необхідна і достатня умови існування точок перегину 445 5.6. Дослідження функцій 446 5.6.1. Дослідження функцій за допомогою елементарних влас-тивостей 446 5.6.2. Ознака сталості диференційовних функцій 447 5.6.3. Зростання і спадання функції в точці і на проміжку 447 5.6.4. Ознаки монотонності диференційовних функцій 448 5.6.5. Дослідження диференційовної функції на монотонність 449 5.6.6. Поняття максимуму та мінімуму на множині 450 5.6.7. Поняття максимуму і мінімуму функції в точці (локальний екстремум) 451 5.6.8. Необхідна умова екстремуму. Стаціонарні і критичні точки функції 452 5.6.9. Достатні умови строгого екстремуму 452 5.6.10. Найбільше і найменше значення функції на проміжку (аб-солютний екстремум) 455 5.7. Загальний план дослідження функції і побудова графіків 457 5.7.1. Побудова графіка функції на основі результатів І-го рівня дослідження функції 457 5.7.2. Асимптоти кривої 463 5.7.3. Загальний план дослідження функції 468 5.7.4. Дослідження та побудова графіка функції, заданої пара-метрично 471 5.8. Застосування похідної для дослідження динаміки функції 473 5.8.1. Основні задачі 473 5.8.2. Економічне застосування диференціала. Мультиплікатор 477 Вправи для самостійного розв’язування 478 Комп’ютерний аналіз 510 Література 527 Предметний покажчик 528 Будова математичної теорії. Ключові поняття 533
